2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведены две биссектрисы АР и СК. Докажите, что треугольники АКС и СРА равны.

Дано: ΔABC - равнобедренный, AB = BC, AP и CK - биссектрисы углов A и C соответственно.

Доказать: ΔAKC = ΔCPA.

Доказательство:

1. В равнобедренном ΔABC углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA.
2. Так как AP и CK - биссектрисы, то ∠KCA = 1/2 * ∠BCA и ∠PAC = 1/2 * ∠BAC.
3. Следовательно, ∠KCA = ∠PAC (так как ∠BAC = ∠BCA).
4. Рассмотрим ΔAKC и ΔCPA:
• AC - общая сторона.
• ∠KCA = ∠PAC (доказано выше).
• AK = CP (так как AK = AB - KB, CP = BC - BP, AB = BC и KB = BP, потому что биссектрисы в равнобедренном треугольнике делят равные стороны на равные отрезки).
5. Таким образом, ΔAKC = ΔCPA по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Что и требовалось доказать.