В равнобедренном треугольнике один из внешних углов равен 60°. Высота, проведённая к боковой стороне равна 5 см. Найдите основание треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Рассмотрим два случая: 1. Внешний угол при вершине равен 60°. В этом случае, внутренний угол при вершине равен 180° - 60° = 120°. Тогда углы при основании равны (180° - 120°) / 2 = 30°. Пусть высота проведена к боковой стороне *b*. Тогда, если *a* - основание, а *b* - боковая сторона, то высота равна 5 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, частью боковой стороны и основанием. В этом треугольнике угол напротив высоты равен 30°. Следовательно, гипотенуза (боковая сторона *b*) равна удвоенной высоте, то есть *b* = 2 * 5 = 10 см. Теперь, используя теорему синусов, найдем основание *a*: $$\frac{a}{\sin{120°}} = \frac{b}{\sin{30°}}$$ $$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{\frac{1}{2}}$$ $$a = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} : \frac{1}{2} = 10\sqrt{3}$$ 2. Внешний угол при основании равен 60°. В этом случае, внутренний угол при основании равен 180° - 60° = 120°. Но это невозможно, так как сумма углов в треугольнике должна быть 180°, и если один угол 120°, то два других должны быть меньше 60° в сумме, что противоречит равнобедренности (углы при основании должны быть равны). Следовательно, подходит только первый случай. Ответ: $$10\sqrt{3}$$ см