Пусть (AO = 5x), (OC = 4x), где (O) - точка пересечения диагоналей.
Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании равны, то есть (\angle DAC = \angle BCA).
Рассмотрим треугольники (AOB) и (COD). Они подобны по двум углам (вертикальные углы при (O) и углы при основании).
Коэффициент подобия (k = \frac{AO}{OC} = \frac{5x}{4x} = \frac{5}{4}).
Тогда (\frac{BO}{OD} = \frac{5}{4}).
Так как (ABCD) - равнобедренная трапеция, то (AB = CD). Высоты, опущенные из вершин (B) и (C), разбивают основание (AD) на отрезки, такие что (AH = \frac{AD - BC}{2}).
Пусть (AD = y). Тогда (AH = \frac{y - 6}{2}).
Из подобия треугольников (AOB) и (COD) следует, что (\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{CD} = \frac{5}{4}).
Рассмотрим треугольник (ABC). В нём (BO) - медиана. Так как (BH) - высота, то треугольник (ABH) - прямоугольный.
Также известно, что (\frac{AO}{OC} = \frac{5}{4}). Пусть (AH = a), тогда (AD = BC + 2a = 6 + 2a).
Используем подобие треугольников (AOC) и (DOC): (\frac{OC}{AO} = \frac{4}{5}).
Так как трапеция равнобедренная, (AH = \frac{AD - BC}{2}).
Рассмотрим треугольник (ACH). По теореме Пифагора: (AC^2 = AH^2 + CH^2).
Пусть (AD = x). Тогда (AH = \frac{x - 6}{2}).
По условию (BC = 6).
Из подобия треугольников имеем: (\frac{AD}{BC} = \frac{AO}{OC} = \frac{5}{4}).
Тогда (AD = \frac{5}{4} BC = \frac{5}{4} cdot 6 = \frac{30}{4} = 7.5).
Но это не может быть, так как (AD > BC).
Так как AC делится в отношении 5:4 от вершины A, то $$\frac{AO}{OC} = \frac{5}{4}$$. Из этого следует, что $$\frac{AD}{BC} = \frac{AO}{OC} = \frac{5}{4}$$ , поэтому (AD = \frac{5}{4} * BC = \frac{5}{4} * 6 = 7.5). Это явно не правильно, так как AD должно быть больше BC=6.
Пусть AH = x, тогда AD = 6+2x. Тогда AC = 5/4 * BC => AD = 11.
Ответ: AD = 11. Найдем AH. AH = (11-6)/2 = 2.5