В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD = 17 см, BC = 5 см и боковой стороной AB = 10 см через вершину B проведена прямая, делящая диагональ AC пополам и пересекающая основание AD в точке М. Найдите площадь треугольника BDM.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем высоту трапеции.

   Проведем высоты BH и CK к основанию AD. Тогда HK = BC = 5 см, AH = KD = (AD - BC) / 2 = (17 - 5) / 2 = 6 см.

   Из прямоугольного треугольника ABH по теореме Пифагора: BH = \(\sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\) см.

2. Шаг 2: Найдем длину отрезка MD.

   Так как BM - прямая, делящая диагональ AC пополам, то по теореме о пропорциональных отрезках: AM / MC = AD / BC = 17 / 5.

   Пусть AM = 17x, MC = 5x. Тогда AC = AM + MC = 17x + 5x = 22x.

   Прямая BM делит диагональ AC пополам, значит, AM = MC.

   Рассмотрим треугольник ACD. Прямая BM делит сторону AC пополам и пересекает основание AD в точке M. По теореме Фалеса, MD / AM = BC / AB. Следовательно, MD / 17 = 5 / 10, MD = (17 \(\times\) 5) / 10 = 8.5 см.

3. Шаг 3: Найдем площадь треугольника BDM.

   Площадь треугольника BDM равна половине произведения основания MD на высоту BH.

   S_BDM = 0.5 \(\times\) MD \(\times\) BH = 0.5 \(\times\) 8.5 \(\times\) 8 = 34 \(см^2\).