В равнобедренной трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$. $$O$$ – точка пересечения диагоналей, $$BD = 33\sqrt{2}$$, $$OC = 13\sqrt{2}$$, $$\angle AOD = 90^\circ$$. Найдите $$AD$$.

Рассмотрим равнобедренную трапецию $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$, где $$O$$ – точка пересечения диагоналей $$AC$$ и $$BD$$. Известно, что $$BD = 33\sqrt{2}$$, $$OC = 13\sqrt{2}$$ и $$\angle AOD = 90^\circ$$. Необходимо найти $$AD$$.

Так как трапеция равнобедренная, то $$AC = BD = 33\sqrt{2}$$. Следовательно, $$AO = AC - OC = 33\sqrt{2} - 13\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$$.

Рассмотрим треугольники $$AOD$$ и $$BOC$$. Они подобны по двум углам ($$\angle AOD = \angle BOC = 90^\circ$$ как вертикальные, $$\angle DAO = \angle BCO$$ как накрест лежащие при параллельных $$AD$$ и $$BC$$ и секущей $$AC$$).

Отношение сторон в подобных треугольниках равно отношению соответствующих высот. В нашем случае, отношение $$AO/OC$$ соответствует отношению $$AD/BC$$:

$$ \frac{AO}{OC} = \frac{AD}{BC} $$

Также, $$\triangle AOD$$ прямоугольный, следовательно, можно использовать теорему Пифагора: $$AD^2 = AO^2 + OD^2$$. Аналогично, $$\triangle BOC$$ прямоугольный, и $$BC^2 = BO^2 + OC^2$$.

Заметим, что $$BO = BD - OD$$, и нам нужно найти $$OD$$ для использования теоремы Пифагора.

Так как $$\triangle AOD \sim \triangle BOC$$, то $$\frac{AO}{OC} = \frac{OD}{OB} = \frac{AD}{BC}$$. Подставим известные значения: $$\frac{20\sqrt{2}}{13\sqrt{2}} = \frac{20}{13}$$.

Значит, $$\frac{OD}{OB} = \frac{20}{13}$$. Мы знаем, что $$OB + OD = BD = 33\sqrt{2}$$. Выразим $$OB$$ через $$OD$$: $$OB = \frac{13}{20}OD$$.

Подставим в уравнение: $$OD + \frac{13}{20}OD = 33\sqrt{2}$$.

$$ \frac{33}{20}OD = 33\sqrt{2} $$ $$ OD = 20\sqrt{2} $$

Теперь, когда мы знаем $$AO = 20\sqrt{2}$$ и $$OD = 20\sqrt{2}$$, мы можем найти $$AD$$ по теореме Пифагора для $$\triangle AOD$$:

$$ AD^2 = AO^2 + OD^2 = (20\sqrt{2})^2 + (20\sqrt{2})^2 = 2 \cdot (20\sqrt{2})^2 = 2 \cdot 400 \cdot 2 = 1600 $$ $$ AD = \sqrt{1600} = 40 $$

Ответ: 40