В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC угол A равен 60°, боковая сторона — 12 см, а средняя линия — 19 см. Найдите: 1) высоту трапеции; 2) длины обоих оснований.

Дано: равнобедренная трапеция ABCD, AD ∥ BC, ∠A = 60°, боковая сторона AB = CD = 12 см, средняя линия равна 19 см.

Найти: 1) высоту; 2) основания AD и BC.

1. Опустим высоту из B на основание AD. Получится прямоугольный треугольник с гипотенузой 12 см и углом 60° при A. Тогда h = 12 sin 60° = 6√3 см.
2. Проекция каждой боковой стороны на основание равна 12 cos 60° = 6 см. В равнобедренной трапеции такие проекции равны, поэтому AD − BC = 6 + 6 = 12 см. Основание AD больше BC.
3. Средняя линия равна полусумме оснований: (AD + BC) / 2 = 19, откуда AD + BC = 38 см.
4. Из суммы 38 см и разности 12 см получаем: AD = (38 + 12) / 2 = 25 см; BC = (38 − 12) / 2 = 13 см.

Ответ: высота — 6√3 см; основания — AD = 25 см и BC = 13 см.