3 В равнобедренной трапе- ции боковая сторона равна 10 см, диагональ - 17 см, а разность оснований — 12 см. Найдите площадь трапеции.

1. Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, где AB = CD = 10 см, AC = 17 см.

2. Пусть BC = a, AD = b, тогда b - a = 12 см.

3. Проведем высоты BH и CK. Тогда HK = BC = a, AH = KD = (b - a) / 2 = 12 / 2 = 6 см.

4. Рассмотрим треугольник ABH: AB = 10 см, AH = 6 см. По теореме Пифагора, BH = \(\sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\) см.

5. Рассмотрим треугольник ACK: AC = 17 см, CK = BH = 8 см. Тогда AK = AH + HK = 6 + a, и в то же время AK = \(\sqrt{AC^2 - CK^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15\) см.

6. Так как b - a = 12, то b = a + 12. AK = 6 + a = 15 см, следовательно, a = 15 - 6 = 9 см, и b = a + 12 = 9 + 12 = 21 см.

7. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: $$S = \frac{a+b}{2} \times h = \frac{9+21}{2} \times 8 = \frac{30}{2} \times 8 = 15 \times 8 = 120 \text{ см}^2$$

Ответ: 120 кв. см