В равнобедренной трапеции известны высота, большее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите меньшее основание.

Решение:

На рисунке изображена равнобедренная трапеция. Известно:

• Высота \( h = 5 \)
• Большее основание \( a = 15 \)
• Угол при основании \( \alpha = 45^{\circ} \)

Найти: меньшее основание \( b \)

Решение:

1. Проведем высоту из вершины угла при меньшем основании к большему основанию. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, отрезком большего основания и боковой стороной, угол при основании равен \( 45^{\circ} \), а противолежащий катет (высота) равен 5.
2. Так как один из углов равен \( 45^{\circ} \), то другой острый угол также равен \( 45^{\circ} \) (сумма углов в треугольнике 180°, \( 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \)). Следовательно, этот прямоугольный треугольник является равнобедренным.
3. Отрезок большего основания, отсекаемый высотой, равен высоте: \( x = h = 5 \).
4. В равнобедренной трапеции отрезки большего основания, отсекаемые высотами, проведенными из вершин одного меньшего основания, равны. Обозначим отрезок, отсекаемый от большего основания, как \( x \). Тогда \( x = 5 \).
5. Большее основание \( a = 15 \) состоит из трех отрезков: \( x + b + x \), где \( b \) — меньшее основание.
6. \( 15 = 5 + b + 5 \)
7. \( 15 = 10 + b \)
8. \( b = 15 - 10 = 5 \).

Ответ: 5