В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рис.). Найдите большее основание.

Решение:

1. Обозначим большее основание как \( a \), меньшее основание как \( b \), высоту как \( h \), а угол при основании как \( \alpha \).

По условию:

\( b = 5 \)

\( h = 5 \)

\( \alpha = 45° \)

2. В равнобедренной трапеции, опустив высоту из вершин меньшего основания на большее, мы получим два прямоугольных треугольника. В этих треугольниках угол при основании равен \( 45° \), а противолежащий катет (высота) равен 5.

3. В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

\( \tan \alpha = \frac{h}{\text{прилежащий катет}} \)

\( \tan 45° = \frac{5}{\text{прилежащий катет}} \)

Так как \( \tan 45° = 1 \), то \( 1 = \frac{5}{\text{прилежащий катет}} \).

Следовательно, прилежащий катет равен 5.

4. Прилежащий катет — это отрезок, который мы откладываем от вершины большего основания к основанию перпендикуляра. В равнобедренной трапеции эти отрезки равны.

5. Большее основание \( a \) равно сумме меньшего основания \( b \) и двух прилежащих катетов:

\( a = b + 2 \cdot \text{прилежащий катет} \)

\( a = 5 + 2 \cdot 5 = 5 + 10 = 15 \)

Ответ: 15