В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть основания трапеции \( a = 8 \) (большее) и \( b = 4 \) (меньшее).

Угол между боковой стороной и основанием равен 45°.

Проведем две высоты из вершин меньшего основания на большее основание. Эти высоты отсекут от большего основания два равных отрезка.

Длина каждого такого отрезка равна \( (a - b) / 2 \) = \( (8 - 4) / 2 = 4 / 2 = 2 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой и отрезком основания. Угол при основании равен 45°, значит, второй острый угол тоже 45° (180° - 90° - 45° = 45°).

Следовательно, этот треугольник равнобедренный, и высота \( h \) равна отрезку основания, т.е. \( h = 2 \).

Площадь трапеции равна: \( S = \frac{a + b}{2} \cdot h \).

\( S = \frac{8 + 4}{2} \cdot 2 \)

\( S = \frac{12}{2} \cdot 2 \)

\( S = 6 \cdot 2 \)

\( S = 12 \)

Ответ: 12.