25. В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Решение: 1. Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AB = CD, BC - меньшее основание, AD - большее основание. 2. Так как в трапецию можно вписать окружность, сумма противоположных сторон равна. Значит, AB + CD = BC + AD. 3. Периметр трапеции равен 200, то есть AB + CD + BC + AD = 200. Следовательно, 2(BC + AD) = 200, а значит, BC + AD = 100. 4. Площадь трапеции равна 2000, то есть \(S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h = 2000\), где h - высота трапеции. 5. Подставим BC + AD = 100: \(\frac{100}{2} \cdot h = 2000\), откуда h = 40. 6. Так как трапеция равнобедренная и в нее вписана окружность, высота равна диаметру вписанной окружности. Значит, радиус вписанной окружности r = h/2 = 40/2 = 20. 7. Пусть O - точка пересечения диагоналей. Рассмотрим подобные треугольники BOC и DOA. Коэффициент подобия k = BC/AD. Также k = BO/OD = CO/OA. Отношение высот, опущенных из точки O на основания BC и AD равно k. Пусть h1 - высота, опущенная из O на BC, h2 - высота, опущенная из O на AD. Тогда h1/h2 = k. 8. Имеем также h1 + h2 = h = 40. Найдем k. Так как BC+AD = 100 и в трапецию вписана окружность, то \(\frac{BC+AD}{2} = AB\), значит AB = 50. Проведем высоты из точек B и C на основание AD. Пусть BH - высота. Тогда AH = (AD - BC)/2. В прямоугольном треугольнике ABH: AH^2 + BH^2 = AB^2, ((AD - BC)/2)^2 + 40^2 = 50^2, (AD - BC)/2 = 30, AD - BC = 60. Решаем систему AD + BC = 100, AD - BC = 60. Получаем AD = 80, BC = 20. Тогда k = BC/AD = 20/80 = 1/4. 9. h1/h2 = 1/4, h1 + h2 = 40. h2 = 4h1. h1 + 4h1 = 40, 5h1 = 40, h1 = 8. Ответ: Расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания равно 8.