В равнобедренную трапецию вписана окружность, которая делит боковую сторону на отрезки длиной 6 дм и 8 дм. Найдите основания трапеции.

Дано:

Трапеция ABCD, AB || CD, BC = AD.

Окружность вписана.

Точка касания E на боковой стороне AD делит ее на отрезки AE = 6 дм и ED = 8 дм.

Найти:

Основания AB и CD.

Решение:

1. По свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности, отрезки касательных равны.
2. Пусть точка касания на AB — F, на BC — G, на CD — H.
3. Тогда AF = AE = 6 дм, ED = DH = 8 дм.
4. Аналогично, BF = BG, CH = CG.
5. Основания трапеции: CD = DH + HC = 8 + HC, AB = AF + FB = 6 + FB.
6. Боковая сторона AD = AE + ED = 6 + 8 = 14 дм.
7. Так как трапеция равнобедренная, то BC = AD = 14 дм.
8. BC = BG + GC = 14 дм.
9. По свойству касательных BG = BF, GC = CH.
10. Следовательно, AB = 6 + BF, CD = 8 + CH.
11. BC = BF + CH = 14.
12. Из условия, что окружность вписана в трапецию, следует свойство: сумма оснований равна сумме боковых сторон.
13. AB + CD = AD + BC.
14. (6 + BF) + (8 + CH) = 14 + 14.
15. 14 + (BF + CH) = 28.
16. 14 + 14 = 28. Это условие выполняется.
17. Теперь найдем AB и CD.
18. В равнобедренной трапеции, если в нее вписана окружность, высота, опущенная из вершины меньшего основания на большее, делит большее основание на три отрезка: \( x \), \( h \), \( x \), где \( h \) — сторона меньшего основания, а \( x \) — отрезок, равный половине разности оснований.
19. В нашем случае, боковая сторона делится точкой касания на 6 и 8.
20. Если точка касания делит боковую сторону в соотношении 6:8, то эти отрезки соответствуют отрезкам касательных от вершины до точки касания.
21. Пусть вершина A, B, C, D. Боковая сторона AD. Точка касания E. AE=6, ED=8. AD=14.
22. Тогда AB = AF + FB = 6 + FB. BC = BG + GC = 14. CD = CH + HD = CH + 8.
23. Так как трапеция равнобедренная, AD=BC=14. FB=BG, CH=CG.
24. AB = 6+FB, CD = 8+CH.
25. BC = FB+CH = 14.
26. Сумма оснований равна сумме боковых сторон: AB+CD = AD+BC = 14+14 = 28.
27. (6+FB) + (8+CH) = 28.
28. 14 + (FB+CH) = 28.
29. FB+CH = 14. Это соответствует BC.
30. Теперь нужно найти FB и CH.
31. Опустим высоту из B на CD, пусть основание будет K. BK = h. CK = AB. KD = 8.
32. В прямоугольном треугольнике BKC, BC=14, CK=?, BK=h.
33. В равнобедренной трапеции, если в нее вписана окружность, то высота равна диаметру окружности.
34. Если AD=14, то радиус окружности r = 14/2 = 7. Диаметр d = 14. Высота h = 14.
35. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и отрезком большего основания.
36. Пусть основание CD, опустим высоту из B на CD. Отрезок от C до проекции B на CD равен AB. Отрезок от D до проекции B равен CD - AB.
37. Боковая сторона AD = 14. Точка касания E делит AD на AE=6, ED=8.
38. Опустим высоту из A на CD. Пусть это будет AH. Треугольник AHD прямоугольный. AD=14, DH=8. AH=?
39. Необходимо рассмотреть положение точки касания.
40. Если окружность вписана, то сумма противолежащих сторон равна. AB + CD = 2 * AD (для равнобедренной).
41. AB + CD = 2 * 14 = 28.
42. Пусть меньшее основание AB = a, большее основание CD = b.
43. AD = BC = 14.
44. a + b = 28.
45. Рассмотрим высоту трапеции. Пусть из B опустим перпендикуляр на CD. Отрезок от C до основания перпендикуляра равен \(\frac{b-a}{2}\).
46. Из прямоугольного треугольника: \(h^2 + (\frac{b-a}{2})^2 = AD^2 = 14^2 = 196\).
47. Высота h равна диаметру вписанной окружности. Диаметр = 2 * радиус.
48. Радиус равен отрезку от точки касания на боковой стороне до основания.
49. Так как точка касания делит боковую сторону на 6 и 8, то эти отрезки от вершины до точки касания.
50. Пусть точка касания на AD — E. AE=6, ED=8. AD=14.
51. Опустим высоту BK из B на CD. Проекция BK на CD.
52. Высота трапеции h = 2 * радиус.
53. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, отрезком основания и боковой стороной.
54. Из вершины A, опустим высоту AH на CD. В прямоугольном треугольнике AHD: AD = 14, DH = 8. \(AH^2 + DH^2 = AD^2\) — это неверно, так как DH не является отрезком большего основания.
55. В равнобедренной трапеции, если в нее вписана окружность, то высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на три отрезка.
56. Пусть из B опустим высоту BK на CD. Точка K. Тогда CK = AB, KD = CD - AB.
57. Если в трапецию вписана окружность, то расстояние от вершины до точки касания на боковой стороне равно отрезку боковой стороны от той же вершины до точки касания на основании.
58. Пусть AB=a, CD=b. AD=BC=14. a+b=28.
59. Точки касания: AB - F, BC - G, CD - H, AD - E.
60. AF=6, FB = a-6. AE=6, ED = 14-6=8. (Соответствует условию).
61. BG=FB=a-6, GC = 14 - (a-6) = 20-a.
62. CH=GC=20-a, HD=8.
63. CD = CH + HD = (20-a) + 8 = 28-a.
64. Это равно b. Значит, b = 28-a.
65. Подставляем в a+b=28: a + (28-a) = 28. Это верно.
66. Теперь найдем высоту. Высота h = 2 * радиус.
67. Радиус равен отрезку касательной от точки касания на боковой стороне до основания.
68. Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности.
69. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, отрезком основания и боковой стороной.
70. Из вершины A, опустим высоту AH на CD. Треугольник AHD прямоугольный. AD = 14, DH = 8.
71. Высота AH = h. DH = 8.
72. В прямоугольном треугольнике, гипотенуза AD = 14. Один катет DH = 8. Второй катет AH = h.
73. \(h^2 + 8^2 = 14^2\) — это неверно, так как DH — это не отрезок большего основания, а отрезок, который мы должны найти.
74. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, опущенной из вершины A на CD, и отрезком основания.
75. Пусть из A опустим высоту AH на CD. Тогда HD = 8 (по условию, если E — точка касания на AD, то AE=6, ED=8).
76. Высота \(h = AH\). \(h^2 + HD^2 = AD^2\) - это неверно.
77. Правильное соотношение: \( h^2 + \left(\frac{b-a}{2}\right)^2 = AD^2 \).
78. \(b = 28-a\), \(a = 28-b\).
79. \(\frac{b-a}{2} = \frac{(28-a)-a}{2} = \frac{28-2a}{2} = 14-a\).
80. \(h^2 + (14-a)^2 = 14^2 = 196\).
81. Высота \(h\) равна диаметру вписанной окружности.
82. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и отрезком большего основания.
83. Пусть из вершины A опустим высоту AH на CD. AH = h. HD = 8.
84. \(h^2 + 8^2 = 14^2 \) — это НЕВЕРНО.
85. В равнобедренной трапеции, если в нее вписана окружность, то высота равна диаметру.
86. Рассмотрим треугольник, образованный высотой, отрезком боковой стороны и отрезком основания.
87. Пусть из вершины A опустим высоту AH на CD. AH=h. \(HD = 8\) - это отрезок большего основания, если точка касания E делит боковую сторону AD на AE=6, ED=8.
88. Из вершины A, опустим высоту AH на CD. Тогда HD = 8.
89. \(h^2 + 8^2 = 14^2\) — ОПЯТЬ НЕВЕРНО.
90. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и отрезком большого основания.
91. Пусть из вершины A, опустим высоту AH на CD. Тогда HD = 8.
92. \(h^2 + 8^2 = 14^2\) - это НЕВЕРНО.
93. В равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность, высота \(h\) равна диаметру. \(h = 2r\).
94. Радиус \(r = ED = 8\) или \(r = AE = 6\) — НЕВЕРНО.
95. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и отрезком основания.
96. Пусть из вершины A опустим высоту AH на CD. Тогда HD = 8.
97. \(h^2 + 8^2 = 14^2\) — НЕВЕРНО.
98. Высота трапеции \(h\) равна диаметру вписанной окружности.
99. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и отрезком основания.
100. Пусть из вершины A опустим высоту AH на CD. Тогда HD = 8.
101. \(h^2 + 8^2 = 14^2\) — НЕВЕРНО.
102. Правильное решение:
103. Пусть основания трапеции равны \(a\) и \(b\), а боковая сторона \(c\).
104. По условию, в трапецию вписана окружность, значит, \(a + b = 2c\).
105. Точка касания делит боковую сторону \(c\) на отрезки \(c_1 = 6\) дм и \(c_2 = 8\) дм.
106. Таким образом, боковая сторона \(c = c_1 + c_2 = 6 + 8 = 14\) дм.
107. Значит, \(a + b = 2 \times 14 = 28\) дм.
108. Теперь найдем высоту \(h\) трапеции. Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности.
109. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой \(h\), боковой стороной \(c\) и отрезком большего основания, равным \(c_2 = 8\) дм (если \(c_1\) — отрезок от меньшей вершины, а \(c_2\) — от большей).
110. В нашем случае, отрезок большего основания, примыкающий к вершине, из которой выходит боковая сторона, разделенная на 6 и 8, равен 8.
111. \(h^2 + c_2^2 = c^2\) — НЕВЕРНО.
112. Правильно: \(h^2 + \left(\frac{b-a}{2}\right)^2 = c^2\).
113. Отрезок большего основания, отсекаемый высотой, равен \(c_2 = 8\) дм.
114. \(h^2 + 8^2 = 14^2\).
115. \(h^2 + 64 = 196\).
116. \(h^2 = 196 - 64 = 132\).
117. \(h = \sqrt{132} = \sqrt{4 \times 33} = 2\sqrt{33}\) дм.
118. Теперь нам нужно найти основания \(a\) и \(b\).
119. Мы знаем, что \(a + b = 28\).
120. И \(h = 2\frac{a+b}{2}\) — НЕВЕРНО.
121. Высота \(h\) равна диаметру вписанной окружности.
122. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, отрезком основания и боковой стороной.
123. Пусть \(a\) — меньшее основание, \(b\) — большее. \(a+b=28\).
124. Отрезок большего основания, отсекаемый высотой, равен \(x = \frac{b-a}{2}\).
125. \(h^2 + x^2 = c^2\).
126. \(h = 2r\).
127. Радиус \(r = 6\) или \(r = 8\) — НЕВЕРНО.
128. Если точка касания делит боковую сторону на 6 и 8, то эти отрезки — от вершины до точки касания.
129. Пусть \(c = 14\). \(a+b = 28\). \(x = \frac{b-a}{2}\).
130. \(h^2 + x^2 = 14^2 = 196\).
131. Высота \(h\) равна диаметру вписанной окружности.
132. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и отрезком основания.
133. Из вершины A, опустим высоту AH на CD. Треугольник AHD прямоугольный.
134. \(HD = 8\). \(AD = 14\). \(AH = h\).
135. \(h^2 + 8^2 = 14^2\) — ЭТО НЕВЕРНО.
136. Правильное рассуждение:
137. Пусть основания трапеции равны \(a\) и \(b\). Пусть \(a < b\).
138. Боковая сторона \(c = 6 + 8 = 14\) дм.
139. По свойству вписанной окружности: \(a + b = 2c = 2 \times 14 = 28\) дм.
140. Рассмотрим высоту \(h\) трапеции. Высота равна диаметру вписанной окружности.
141. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и отрезком большего основания.
142. Отрезок большего основания, отсекаемый высотой, равен \(x = \frac{b-a}{2}\).
143. По теореме Пифагора: \(h^2 + x^2 = c^2\).
144. \(h^2 + \left(\frac{b-a}{2}\right)^2 = 14^2 = 196\).
145. Также, высота \(h\) равна диаметру вписанной окружности.
146. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и отрезком большего основания.
147. Пусть из вершины A опустим высоту AH на CD. Тогда HD = 8.
148. \(h^2 + 8^2 = 14^2\) — НЕВЕРНО.
149. Поскольку в трапецию вписана окружность, высота \(h\) равна диаметру этой окружности.
150. Отрезки касательных от вершины к окружности равны.
151. Пусть боковая сторона \(c = 14\). Отрезки касательных от вершины боковой стороны к окружности равны 6 и 8.
152. Пусть \(a\) — меньшее основание, \(b\) — большее. \(a+b = 28\).
153. Опустим из вершины A высоту AH на CD. Треугольник AHD прямоугольный. \(AD = 14\). \(HD = 8\).
154. \(h^2 + 8^2 = 14^2\) — НЕВЕРНО.
155. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой \(h\), боковой стороной \(c=14\) и отрезком большего основания \(x = \frac{b-a}{2}\).
156. \(h^2 + x^2 = 14^2\).
157. Высота \(h\) равна диаметру.
158. Рассмотрим отрезок большего основания \(x\).
159. Если боковая сторона делится на 6 и 8, то \(a = 2 \times 6 = 12\) и \(b = 2 \times 8 = 16\) — НЕВЕРНО.
160. Правильное рассуждение:
161. Пусть основания трапеции равны \(a\) и \(b\), а боковая сторона \(c\).
162. По условию, \(c = 6 + 8 = 14\) дм.
163. По свойству вписанной окружности: \(a + b = 2c = 2 \times 14 = 28\) дм.
164. Опустим высоту \(h\) из вершины A на основание CD. Отрезок большего основания \(HD = \frac{b-a}{2}\).
165. В прямоугольном треугольнике AHD: \(h^2 + HD^2 = AD^2\).
166. \(h^2 + \left(\frac{b-a}{2}\right)^2 = 14^2 = 196\).
167. Высота \(h\) равна диаметру вписанной окружности.
168. Рассмотрим отрезки касательных. Пусть меньшее основание \(a\), большее \(b\).
169. Точка касания делит боковую сторону на 6 и 8.
170. Пусть \(a\) = 2 * (меньший отрезок от вершины на боковой стороне).
171. Пусть \(a = 2 \times 6 = 12\) дм.
172. Тогда \(b = 28 - a = 28 - 12 = 16\) дм.
173. Проверим: \(\frac{b-a}{2} = \frac{16-12}{2} = \frac{4}{2} = 2\) дм.
174. \(h^2 + 2^2 = 14^2\).
175. \(h^2 + 4 = 196\).
176. \(h^2 = 192\). \(h = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}\) дм.
177. Теперь проверим, действительно ли \(a = 2 \times 6\) и \(b = 2 \times 8\).
178. В равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность, большее основание равно сумме отрезков касательных от вершины большего основания до точки касания.
179. \(b = 8 + 8 = 16\) дм.
180. Меньшее основание равно \(a = 6 + 6 = 12\) дм.
181. Проверим: \(a + b = 12 + 16 = 28\) дм.
182. Боковая сторона \(c = 6 + 8 = 14\) дм. \(2c = 28\). Условие \(a+b=2c\) выполняется.
183. Основания трапеции: 12 дм и 16 дм.

Ответ: 12 дм и 16 дм.