2. В разных полуплоскостях относительно прямой АВ расположены точки М и N. Докажите, что АМ || BN, если известно, что АM = BN, AN = BM.

Дано: точки M и N расположены в разных полуплоскостях относительно прямой AB, AM = BN, AN = BM.

Доказать: AM || BN

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ΔAMB и ΔBNA.
2. В этих треугольниках AM = BN и BM = AN (по условию), AB - общая сторона.
3. Следовательно, ΔAMB = ΔBNA по трем сторонам (III признак равенства треугольников).
4. Из равенства треугольников следует равенство углов: ∠MAB = ∠NBA и ∠ABM = ∠BNA.
5. ∠MAB и ∠NBA - накрест лежащие углы при прямых AM и BN и секущей AB.
6. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
7. Следовательно, AM || BN.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что AM || BN.