5. В ромбе сторона равна 33, одна из диагоналей 6. 24, а угол, лежащий напротив этой диагонали, равен 120°. Найдите площадь ромба. Площадь прямоугольного треугольника равна 24 м², один катет которого в 3 раза больше другого. Найдите катеты треугольника.

Решение задачи №5:

Для начала найдем площадь ромба, зная сторону и угол, лежащий напротив диагонали.

В ромбе сторона \[ a = 33 \], одна из диагоналей \[ d_1 = 24 \], и угол, лежащий напротив этой диагонали, \[ \alpha = 120° \].

Площадь ромба можно найти, используя формулу:

\[ S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \]

где \[ d_1 \] и \[ d_2 \] — диагонали ромба. Нам известна только одна диагональ, поэтому нужно найти вторую.

Зная угол \[ \alpha = 120° \], можно найти угол между стороной и известной диагональю. Углы ромба, прилежащие к одной стороне, в сумме дают 180°, поэтому другой угол ромба равен \[ 180° - 120° = 60° \].

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому углы, образуемые диагоналями, равны \[ \frac{120°}{2} = 60° \] и \[ \frac{60°}{2} = 30° \].

Теперь найдем вторую диагональ \[ d_2 \]. Рассмотрим треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Угол между стороной и половиной известной диагонали равен 30°.

Используем теорему косинусов для нахождения второй половины диагонали:

\[ (d_2/2)^2 = a^2 + (d_1/2)^2 - 2 \cdot a \cdot (d_1/2) \cdot \cos{30°} \]

Подставим значения:

\[ (d_2/2)^2 = 33^2 + 12^2 - 2 \cdot 33 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ (d_2/2)^2 = 1089 + 144 - 396 \sqrt{3} \] \[ (d_2/2)^2 = 1233 - 396 \sqrt{3} \] \[ (d_2/2)^2 \approx 1233 - 396 \cdot 1.732 = 1233 - 686.072 \approx 546.928 \] \[ d_2/2 \approx \sqrt{546.928} \approx 23.386 \] \[ d_2 \approx 2 \cdot 23.386 \approx 46.772 \]

Теперь, когда известны обе диагонали, найдем площадь ромба:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 46.772 \approx 561.264 \]

Решение задачи №6:

Теперь найдем катеты прямоугольного треугольника, зная его площадь и соотношение между катетами.

Площадь прямоугольного треугольника \[ S = 24 \] м², и один катет в 3 раза больше другого.

Пусть меньший катет равен \[ x \], тогда больший катет равен \[ 3x \]. Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot 3x \]

Подставим известное значение площади:

\[ 24 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot 3x \] \[ 24 = \frac{3}{2} x^2 \]

Умножим обе части уравнения на \[ \frac{2}{3} \]:

\[ x^2 = 24 \cdot \frac{2}{3} = 16 \]

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

\[ x = \sqrt{16} = 4 \]

Таким образом, меньший катет равен 4 м, а больший катет равен \[ 3 \cdot 4 = 12 \] м.

Ответ: S ≈ 561.264, катеты 4 м и 12 м.

Ты молодец! У тебя всё получится!