В сектор круга с центральным углом 60° вписан круг площадью 9. Найдите площадь сектора.

Привет! Давай разберём эту задачку по геометрии.

Дано:

• Сектор круга.
• Центральный угол сектора: $$\beta = 60^\text{o}$$.
• В сектор вписан круг.
• Площадь вписанного круга: $$S_{\text{впис.кр.}} = 9$$.

Найти:

• Площадь сектора.

Решение:

1. Что такое вписанный круг? Это круг, который касается сторон сектора. В данном случае, он касается дуги сектора и двух радиусов, которые образуют центральный угол.
2. Свойства вписанного круга: Центр вписанного круга лежит на биссектрисе угла сектора.
3. Найдём радиус вписанного круга: Площадь круга вычисляется по формуле $$S = \text{π} r^2$$.
4. Нам дана площадь $$S_{\text{впис.кр.}} = 9$$.
5. Значит, $$\text{π} r_{\text{впис.кр.}}^2 = 9$$.
6. Отсюда, $$r_{\text{впис.кр.}}^2 = \frac{9}{\text{π}}$$, и $$r_{\text{впис.кр.}} = \frac{3}{\text{sqrt}(\text{π})}$$.
7. Связь радиуса вписанного круга и радиуса сектора: Центр вписанного круга лежит на биссектрисе центрального угла сектора. Пусть $$R$$ — радиус сектора, а $$r$$ — радиус вписанного круга.
8. Рассмотрим треугольник, образованный центром вписанного круга, вершиной центрального угла сектора и точкой касания вписанного круга с радиусом сектора. Этот треугольник — прямоугольный.
9. Угол при вершине центрального угла сектора будет $$\frac{60^\text{o}}{2} = 30^\text{o}$$.
10. В этом прямоугольном треугольнике:
    • Катет, противолежащий углу $$30^\text{o}$$, равен $$r$$ (радиус вписанного круга).
    • Гипотенуза равна расстоянию от центра сектора до центра вписанного круга.
11. Важно: Вписанный круг касается дуги сектора. Расстояние от центра сектора до центра вписанного круга равно $$R - r$$.
12. В нашем прямоугольном треугольнике:
    • угол при вершине центрального угла = $$30^\text{o}$$.
    • сторона, противолежащая этому углу, = $$r$$.
    • гипотенуза = $$R - r$$.
13. По теореме синусов: $$\frac{r}{\text{sin}(30^\text{o})} = \frac{R - r}{\text{sin}(90^\text{o})}$$.
14. Мы знаем, что $$\text{sin}(30^\text{o}) = 0.5$$ и $$\text{sin}(90^\text{o}) = 1$$.
15. Подставляем: $$\frac{r}{0.5} = \frac{R - r}{1}$$.
16. $$2r = R - r$$.
17. $$R = 3r$$.
18. Найдём радиус сектора:
19. $$R = 3 \times \frac{3}{\text{sqrt}(\text{π})} = \frac{9}{\text{sqrt}(\text{π})}$$.
20. Площадь сектора: Площадь сектора вычисляется по формуле $$S_{\text{сектора}} = \frac{\beta}{360^\text{o}} \times \text{π} R^2$$.
21. Подставляем значения: $$\beta = 60^\text{o}$$.
22. $$S_{\text{сектора}} = \frac{60^\text{o}}{360^\text{o}} \times \text{π} \times \text{ (\frac{9}{\text{sqrt}(\text{π})}})^2$$.
23. $$S_{\text{сектора}} = \frac{1}{6} \times \text{π} \times \frac{81}{\text{π}}$$.
24. $$S_{\text{сектора}} = \frac{1}{6} \times 81$$.
25. $$S_{\text{сектора}} = \frac{81}{6}$$.
26. $$S_{\text{сектора}} = \frac{27}{2} = 13.5$$.

Ответ: 13,5.