В сектор круга с центральным углом 60° вписан круг площадью 9. Найдите площадь сектора.

Дано:

• Сектор с центральным углом α = 60°.
• Вписанный круг площадью S_{впис} = 9.

Найти: Площадь сектора S_{сектор}.

Решение:

1. Находим радиус вписанного круга: Площадь круга вычисляется по формуле

   \[ S = \pi r^2 \]

   .

   \[ 9 = \pi r_{впис}^2 \]

   \[ r_{впис}^2 = \frac{9}{\pi} \]

   \[ r_{впис} = \sqrt{\frac{9}{\pi}} = \frac{3}{\sqrt{\pi}} \]

2. Геометрия вписанного круга в сектор: Вписанный круг касается обеих радиус-сторон сектора и дуги сектора. Центр вписанного круга лежит на биссектрисе центрального угла сектора.
3. Связь радиусов: Пусть R - радиус сектора, а r_{впис} - радиус вписанного круга. Угол между радиусом сектора и биссектрисой равен

   \[ \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \]

   . Рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный центром вписанного круга, точкой касания с радиус-стороной и вершиной сектора, получим:

   \[ \sin(30^\circ) = \frac{r_{впис}}{R} \]

4. Находим радиус сектора R:

   \[ \frac{1}{2} = \frac{r_{впис}}{R} \]

   \[ R = 2 r_{впис} \]

   \[ R = 2 \frac{3}{\sqrt{\pi}} = \frac{6}{\sqrt{\pi}} \]

5. Находим площадь сектора: Площадь сектора вычисляется по формуле

   \[ S_{сектор} = \frac{\alpha}{360^\circ} \pi R^2 \]

6. Вычисляем площадь сектора:

   \[ S_{сектор} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \pi \left( \frac{6}{\sqrt{\pi}} \right)^2 \]

   \[ S_{сектор} = \frac{1}{6} \pi \frac{36}{\pi} \]

   \[ S_{сектор} = \frac{1}{6} 36 = 6 \]

Ответ: 6