В серии из 10 испытаний Бернулли вероятность успеха в каждом отдельном испытании равна 0,3. Во сколько раз вероятность события А «наступит ровно 5 успеха» меньше вероятности события В «наступит ровно 2 успеха»?

Ответ: ≈ 3.97

Решение:

• Шаг 1: Определим параметры задачи:
  • n = 10 (количество испытаний)
  • p = 0,3 (вероятность успеха)
  • q = 1 - p = 0,7 (вероятность неудачи)
• Шаг 2: Найдем вероятность события A (ровно 5 успехов): \[P(A) = C_{10}^5 \cdot (0.3)^5 \cdot (0.7)^5\]
• Шаг 3: Найдем вероятность события B (ровно 2 успеха): \[P(B) = C_{10}^2 \cdot (0.3)^2 \cdot (0.7)^8\]
• Шаг 4: Вычислим значения:
  • \[C_{10}^5 = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 252\]
  • \[C_{10}^2 = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45\]
• Шаг 5: Подставим значения:
  • \[P(A) = 252 \cdot (0.3)^5 \cdot (0.7)^5 = 252 \cdot 0.00243 \cdot 0.16807 \approx 0.103\]
  • \[P(B) = 45 \cdot (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 45 \cdot 0.09 \cdot 0.05764801 \approx 0.466\]
• Шаг 6: Найдем отношение вероятности события B к вероятности события A: \[\frac{P(B)}{P(A)} = \frac{0.466}{0.103} \approx 4.52\]
• Шаг 7: Вопрос задачи - во сколько раз вероятность A меньше вероятности B. Тогда надо найти отношение P(B) / P(A)

Ответ: ≈ 4.52