В серии коллекционных игрушек (шоколадных яиц) содержится 5 различных типов персонажей. Каждое яйцо с равной вероятностью содержит любого из 5 персонажей, независимо от других яиц. У Насти уже есть 4 различных персонажа. Какое наименьшее количество яиц п нужно купить дополнительно, чтобы вероятность получить недостающего пятого персонажа хотя бы в одном из них была не менее 0,8?

Решение:

1. Вероятность не получить нужного персонажа: Если у Насти уже есть 4 разных персонажа из 5, то вероятность получить нужного пятого при покупке одного яйца равна $$1/5 = 0.2$$. Вероятность НЕ получить нужного персонажа из одного яйца равна $$1 - 0.2 = 0.8$$.
2. Вероятность не получить нужного персонажа из 'п' яиц: Вероятность не получить пятого персонажа ни в одном из $$п$$ купленных яиц равна $$0.8^п$$.
3. Вероятность получить нужного персонажа хотя бы в одном из 'п' яиц: Эта вероятность равна $$1 - 0.8^п$$.
4. Находим 'п': Нам нужно, чтобы эта вероятность была не менее 0,8. То есть: $$1 - 0.8^п ≥ 0.8$$.
5. Решаем неравенство: $$1 - 0.8 ≥ 0.8^п → 0.2 ≥ 0.8^п$$.
6. Подбор:
   • Если $$п=1$$, $$0.8^1 = 0.8$$. $$0.2 \not≥ 0.8$$.
   • Если $$п=2$$, $$0.8^2 = 0.64$$. $$0.2 \not≥ 0.64$$.
   • Если $$п=3$$, $$0.8^3 = 0.512$$. $$0.2 \not≥ 0.512$$.
   • Если $$п=4$$, $$0.8^4 = 0.4096$$. $$0.2 \not≥ 0.4096$$.
   • Если $$п=5$$, $$0.8^5 = 0.32768$$. $$0.2 \not≥ 0.32768$$.
   • Если $$п=6$$, $$0.8^6 ≈ 0.262$$. $$0.2 \not≥ 0.262$$.
   • Если $$п=7$$, $$0.8^7 ≈ 0.2097$$. $$0.2 \not≥ 0.2097$$.
   • Если $$п=8$$, $$0.8^8 ≈ 0.1677$$. $$0.2 ≥ 0.1677$$.

Ответ: 8