543*. В сообщающихся сосудах находятся ртуть и вода (рис. 149). Высота столба воды 68 см. Какой высоты столб керосина следует налить в левое колено, чтобы ртуть установилась на одинаковом уровне?

Дано:

• $$h_\text{воды} = 68 \text{ см} = 0.68 \text{ м}$$
• $$\rho_\text{воды} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$$
• $$\rho_\text{керосина} = 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$$
• $$\rho_\text{ртути} = 13600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$$

Найти: $$h_\text{керосина}$$

Решение:

Давление воды уравновешивается давлением керосина и ртути:

$$P_\text{воды} = P_\text{керосина} + P_\text{ртути}$$, где

$$P = \rho g h$$

Высоту столба ртути можно найти из соотношения:

$$\rho_\text{воды} g h_\text{воды} = \rho_\text{керосина} g h_\text{керосина} + \rho_\text{ртути} g h_\text{ртути}$$

Сокращаем g, получаем

$$\rho_\text{воды} h_\text{воды} = \rho_\text{керосина} h_\text{керосина} + \rho_\text{ртути} h_\text{ртути}$$

Условие равновесия ртути: уровни ртути одинаковы в обоих коленах. Тогда, давление столба воды равно сумме давлений столба керосина и столба ртути, высота которого равна разнице уровней ртути.

Предположим, что высота столба ртути в правом колене уменьшилась на $$x$$, тогда в левом колене она увеличилась на $$x$$. И разница уровней ртути равна $$2x$$.

$$\rho_\text{воды} h_\text{воды} = \rho_\text{керосина} h_\text{керосина} + \rho_\text{ртути} (2x)$$, где

$$h_\text{керосина} = x$$

Решаем относительно $$x$$:

$$1000 \cdot 0.68 = 800 x + 13600 (2x)$$,

$$680 = 800 x + 27200 x$$,

$$680 = 28000 x$$,

$$x = \frac{680}{28000} = 0.0243 \text{ м} = 2.43 \text{ см}$$.

Теперь найдем высоту столба керосина:

$$h_\text{керосина} = x = 2.43 \text{ см}$$.

Ответ: 2.43 см.