В2. Сумма трёх измерений прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 40, AB : AA₁ : AD = 2 : 2 : 4. Найдите наибольшую из диагоналей граней параллелепипеда.

Решение:

1. Пусть AB = 2x, AA₁ = 2x, AD = 4x.
   Тогда сумма трех измерений равна: 2x + 2x + 4x = 40.
   8x = 40.
   x = 5.
2. Следовательно, AB = 2 × 5 = 10, AA₁ = 2 × 5 = 10, AD = 4 × 5 = 20.
3. Найдем диагонали граней:
   • Диагональ грани ABB₁A₁: $$d_1 = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$$
   • Диагональ грани ADD₁A₁: $$d_2 = \sqrt{AD^2 + AA_1^2} = \sqrt{20^2 + 10^2} = \sqrt{400 + 100} = \sqrt{500} = 10\sqrt{5}$$
   • Диагональ грани ABCD: $$d_3 = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{10^2 + 20^2} = \sqrt{100 + 400} = \sqrt{500} = 10\sqrt{5}$$
4. Наибольшая диагональ: $$10\sqrt{5}$$

Ответ: $$10\sqrt{5}$$