14. В связи с выпуском новой модели телефона старую модель производили ограниченное число месяцев, ежемесячно уменьшая количество выпущенных телефонов на одно и то же число. Известно, что за второй и предпоследний месяцы в сумме произвели 34000 телефонов старой модели. Сколько месяцев продолжали выпускать старую модель телефона, если всего за данный период выпустили 255000 таких телефонов?

Пусть $$n$$ - количество месяцев выпуска старой модели телефона, $$a_1$$ - количество телефонов, произведенных в первый месяц, $$a_n$$ - количество телефонов, произведенных в последний месяц. Тогда количество телефонов, произведенных во второй месяц, равно $$a_2 = a_1 - d$$, где $$d$$ - разность арифметической прогрессии. Количество телефонов, произведенных в предпоследний месяц, равно $$a_{n-1} = a_n + d$$, так как количество выпущенных телефонов ежемесячно уменьшалось на одно и то же число. По условию, $$a_2 + a_{n-1} = 34000$$. Общее количество выпущенных телефонов за $$n$$ месяцев равно $$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = 255000$$. Заметим, что $$a_2 + a_{n-1} = a_1 - d + a_n + d = a_1 + a_n = 34000$$. Тогда $$S_n = \frac{34000}{2} \cdot n = 17000n = 255000$$, откуда $$n = \frac{255000}{17000} = 15$$. Ответ: 15