В тетраэдре ABCD точки М, № и К сере- дины рёбер АС, ВС и CD соответственно, АВ=3 см, BC=4 см, BD = 5 см. Найдите длины векторов: a) AB, BC, BD, NM, BN, NK; 6) CB, BẢ, DB, NC, KN.

Краткое пояснение

а) Рассмотрим тетраэдр ABCD, где точки M, N, K - середины ребер AC, BC и CD соответственно.

1. Длина вектора \[\overrightarrow{AB}\] равна длине отрезка AB, то есть \[\left|\overrightarrow{AB}\right| = 3 \text{ см}.\]
2. Длина вектора \[\overrightarrow{BC}\] равна длине отрезка BC, то есть \[\left|\overrightarrow{BC}\right| = 4 \text{ см}.\]
3. Длина вектора \[\overrightarrow{BD}\] равна длине отрезка BD, то есть \[\left|\overrightarrow{BD}\right| = 5 \text{ см}.\]
4. NM - средняя линия треугольника ABC, следовательно, она параллельна AB и равна половине AB. Значит, длина вектора \[\overrightarrow{NM}\] равна \[\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1.5 \text{ см}.\]
5. BN = \(\frac{1}{2}\) BC, так как N - середина BC. Следовательно, длина вектора \[\overrightarrow{BN}\] равна \[\frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 \text{ см}.\]
6. NK - средняя линия треугольника BCD, следовательно, она параллельна BD и равна половине BD. Значит, длина вектора \[\overrightarrow{NK}\] равна \[\frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2.5 \text{ см}.\]

б)

1. Длина вектора \[\overrightarrow{CB}\] равна длине отрезка CB, то есть \[\left|\overrightarrow{CB}\right| = 4 \text{ см}.\]
2. Длина вектора \[\overrightarrow{BA}\] равна длине отрезка BA, то есть \[\left|\overrightarrow{BA}\right| = 3 \text{ см}.\]
3. Длина вектора \[\overrightarrow{DB}\] равна длине отрезка DB, то есть \[\left|\overrightarrow{DB}\right| = 5 \text{ см}.\]
4. NC = \(\frac{1}{2}\) BC, так как N - середина BC. Следовательно, длина вектора \[\overrightarrow{NC}\] равна \[\frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 \text{ см}.\]
5. KN - средняя линия треугольника BCD, следовательно, она параллельна BD и равна половине BD. Значит, длина вектора \[\overrightarrow{KN}\] равна \[\frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2.5 \text{ см}.\]

Проверка за 10 секунд: Длины векторов находятся через длины отрезков и свойства средних линий.

Доп. профит (Читерский прием): Используйте свойства средних линий для упрощения вычислений длин векторов.