В1. Точка N – середина ребра АС тетраэдра SABC, M ∈ BN, BM=BN. Выразите вектор SM через век- торы а = ВА, Б = BS, c = BC.

Ответ: \(\overrightarrow{SM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BS} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\)

1. Введем обозначения:
   • \(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{a}\)
   • \(\overrightarrow{BS} = \overrightarrow{b}\)
   • \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c}\)
2. Выразим вектор \(\overrightarrow{BM}\) через \(\overrightarrow{BN}\): \[\overrightarrow{BM} = \frac{2}{3} \overrightarrow{BN}\]
3. Выразим вектор \(\overrightarrow{BN}\) через векторы \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\), учитывая, что N - середина AC: \[\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{BA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}\] Так как \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA}\), то \[\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BA} + \frac{1}{2} (\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA}) = \overrightarrow{BA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} - \frac{1}{2} \overrightarrow{BA} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}\]
4. Подставим выражение для \(\overrightarrow{BN}\) в формулу для \(\overrightarrow{BM}\): \[\overrightarrow{BM} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} \overrightarrow{BA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}) = \frac{1}{3} \overrightarrow{BA} + \frac{1}{3} \overrightarrow{BC}\]
5. Выразим вектор \(\overrightarrow{SM}\) через векторы \(\overrightarrow{SB}\) и \(\overrightarrow{BM}\): \[\overrightarrow{SM} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{BM} = -\overrightarrow{BS} + \overrightarrow{BM}\]
6. Подставим выражение для \(\overrightarrow{BM}\) в формулу для \(\overrightarrow{SM}\): \[\overrightarrow{SM} = -\overrightarrow{BS} + \frac{1}{3} \overrightarrow{BA} + \frac{1}{3} \overrightarrow{BC} = \frac{1}{3} \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BS} + \frac{1}{3} \overrightarrow{BC}\]
7. Заменим векторы \(\overrightarrow{BA}\), \(\overrightarrow{BS}\), \(\overrightarrow{BC}\) на \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{c}\) соответственно: \[\overrightarrow{SM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \frac{1}{3}\overrightarrow{c}\]
8. Итоговое выражение для вектора \(\overrightarrow{SM}\): \[\overrightarrow{SM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BS} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\]

Ответ: \(\overrightarrow{SM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BS} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\)