В2. В тетраэдре RLMN на медиане RP грани RMN взята точка А так, что RA : AP = 6:5. Выразите вектор LA через векторы а = LR, 6 = LN, c = LM.

Ответ: \(\overrightarrow{LA} = \frac{6}{11}\overrightarrow{LR} + \frac{5}{22}\overrightarrow{LN} + \frac{5}{22}\overrightarrow{LM}\)

1. Введем обозначения:
   • \(\overrightarrow{LR} = \overrightarrow{a}\)
   • \(\overrightarrow{LN} = \overrightarrow{b}\)
   • \(\overrightarrow{LM} = \overrightarrow{c}\)
2. Выразим вектор \(\overrightarrow{LA}\) как сумму векторов \(\overrightarrow{LR}\) и \(\overrightarrow{RA}\): \[\overrightarrow{LA} = \overrightarrow{LR} + \overrightarrow{RA}\]
3. Выразим вектор \(\overrightarrow{RA}\) через вектор \(\overrightarrow{RP}\), используя отношение \(RA : AP = 6:5\): \[\overrightarrow{RA} = \frac{6}{11} \overrightarrow{RP}\]
4. Выразим вектор \(\overrightarrow{RP}\) через векторы \(\overrightarrow{RN}\) и \(\overrightarrow{RM}\), учитывая, что \(P\) - середина \(NM\), то есть \(\overrightarrow{NP} = \overrightarrow{PM}\): \[\overrightarrow{RP} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{RN} + \overrightarrow{RM})\]
5. Выразим векторы \(\overrightarrow{RN}\) и \(\overrightarrow{RM}\) через векторы \(\overrightarrow{LN}\) и \(\overrightarrow{LM}\) соответственно: \[\overrightarrow{RN} = \overrightarrow{LN} - \overrightarrow{LR}\] \[\overrightarrow{RM} = \overrightarrow{LM} - \overrightarrow{LR}\]
6. Подставим выражения для \(\overrightarrow{RN}\) и \(\overrightarrow{RM}\) в формулу для \(\overrightarrow{RP}\): \[\overrightarrow{RP} = \frac{1}{2} ((\overrightarrow{LN} - \overrightarrow{LR}) + (\overrightarrow{LM} - \overrightarrow{LR})) = \frac{1}{2} (\overrightarrow{LN} + \overrightarrow{LM} - 2\overrightarrow{LR})\]
7. Подставим выражение для \(\overrightarrow{RP}\) в формулу для \(\overrightarrow{RA}\): \[\overrightarrow{RA} = \frac{6}{11} \cdot \frac{1}{2} (\overrightarrow{LN} + \overrightarrow{LM} - 2\overrightarrow{LR}) = \frac{3}{11} (\overrightarrow{LN} + \overrightarrow{LM} - 2\overrightarrow{LR})\]
8. Подставим выражение для \(\overrightarrow{RA}\) в формулу для \(\overrightarrow{LA}\): \[\overrightarrow{LA} = \overrightarrow{LR} + \frac{3}{11} (\overrightarrow{LN} + \overrightarrow{LM} - 2\overrightarrow{LR}) = \overrightarrow{LR} + \frac{3}{11}\overrightarrow{LN} + \frac{3}{11}\overrightarrow{LM} - \frac{6}{11}\overrightarrow{LR}\] \[\overrightarrow{LA} = \frac{5}{11}\overrightarrow{LR} + \frac{3}{11}\overrightarrow{LN} + \frac{3}{11}\overrightarrow{LM}\]
9. Заменим векторы \(\overrightarrow{LR}\), \(\overrightarrow{LN}\), \(\overrightarrow{LM}\) на \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{c}\) соответственно: \[\overrightarrow{LA} = \frac{5}{11}\overrightarrow{a} + \frac{3}{11}\overrightarrow{b} + \frac{3}{11}\overrightarrow{c}\]

Ответ: \(\overrightarrow{LA} = \frac{5}{11}\overrightarrow{LR} + \frac{3}{11}\overrightarrow{LN} + \frac{3}{11}\overrightarrow{LM}\)