В трапеции ABCD: • основание BC = 7, • боковая сторона CD = 8, • ∠BAD = 45° и ∠BCD = 105°. Найдите среднюю линию трапеции.

Для решения задачи необходимо найти второе основание трапеции AD.

Опустим высоту CE на основание AD. Рассмотрим треугольник CDE, в котором угол DCE = 105° - 90° = 15°.

Из треугольника CDE, зная CD = 8, найдем CE = CD * sin(15°) = 8 * sin(15°).

Также рассмотрим треугольник ABH, где BH - высота, опущенная из вершины B на основание AD. Угол BAH = 45°.

Тогда BH = AB * sin(45°). Но так как CE = BH, то 8 * sin(15°) = AB * sin(45°).

Отсюда AB = (8 * sin(15°)) / sin(45°).

Теперь нужно найти AD. Пусть AE = x, ED = y.

Тогда AD = AE + ED = x + y.

Из треугольника ABH, AE = AB * cos(45°) = ((8 * sin(15°)) / sin(45°)) * cos(45°) = 8 * sin(15°) / tan(45°) = 8 * sin(15°).

Из треугольника CDE, ED = CD * cos(15°) = 8 * cos(15°).

AD = 8 * sin(15°) + 8 * cos(15°) = 8 * (sin(15°) + cos(15°)).

Средняя линия трапеции равна (BC + AD) / 2 = (7 + 8 * (sin(15°) + cos(15°))) / 2.

Теперь найдем числовое значение:

sin(15°) = 0.2588, cos(15°) = 0.9659

AD = 8 * (0.2588 + 0.9659) = 8 * 1.2247 = 9.7976

Средняя линия = (7 + 9.7976) / 2 = 16.7976 / 2 = 8.3988

Рассмотрим другой способ решения задачи:

$$\angle ABC = 180 - 45 = 135°$$

$$\angle BAD + \angle ABC = 45 + 135 = 180°$$

$$\angle BCD + \angle ADC = 105 + \angle ADC = 180°$$

$$\angle ADC = 75°$$

$$\angle BCA = x$$, $$\angle CAD = 45 - y$$

$$\angle BAC = y$$, $$\angle ACD = 105 - x$$

$$\frac{CD}{\sin \angle CAD}=\frac{AC}{\sin \angle ADC}$$

$$\frac{8}{\sin(45)}=\frac{h}{\sin(105)}$$

Ответ: 8.3988