4. В трапеции ABCD (AD и BC основание) диагонали пересекаются в точке O, AD = 12 см, BC = 4 см. Найдите площадь треугольника BOC, если площадь треугольника AOD равна 45 см².

Так как AD и BC - основания трапеции, то AD || BC. Треугольники AOD и BOC подобны, поскольку углы \(\angle AOD\) и \(\angle BOC\) равны как вертикальные, а углы \(\angle DAO\) и \(\angle BCO\) равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AC. Коэффициент подобия k равен отношению соответствующих сторон: \(k = \frac{AD}{BC} = \frac{12}{4} = 3\). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \(\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = k^2 = 3^2 = 9\). Нам известно, что \(S_{AOD} = 45\) см². Тогда \(S_{BOC} = \frac{S_{AOD}}{9} = \frac{45}{9} = 5\) см². **Ответ: 5 см²**