В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB, углы ADB и BDC равны 30°. Найдите длину AD, если периметр трапеции равен 60 см.

Рассматриваем трапецию с параллельными сторонами AD и BC.

1. В треугольнике ABD угол B прямой, а угол D равен 30°. Поэтому AD — гипотенуза, и \(AB=\frac{AD}{2}\), \(BD=\frac{\sqrt{3}}{2}AD\).

2. Поскольку \(AD\parallel BC\), углы ADB и DBC равны. Значит, \(\angle DBC=30°\). По условию \(\angle BDC=30°\), поэтому треугольник BDC равнобедренный: \(BC=CD\). В нём \(BD\) — сторона напротив угла 120°, следовательно, \(BC=CD=\frac{BD}{\sqrt{3}}=\frac{AD}{2}\).

3. Обозначим \(AD=x\). Тогда периметр равен \(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+x=60\), откуда \(\frac{5x}{2}=60\), \(x=24\).

Ответ: 24 см.