13. В трапеции ABCD известно, что AB = CD, ∠BDA = 30° и ∠BDC = 110°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Давайте решим эту задачу по геометрии. 1. **Определение углов:** Мы знаем, что ∠BDA = 30° и ∠BDC = 110°. Следовательно, ∠ADC = ∠BDA + ∠BDC = 30° + 110° = 140°. 2. **Свойства трапеции:** Поскольку ABCD - трапеция и AB = CD, это равнобедренная трапеция. В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Значит, ∠BCD = ∠ADC = 140°. 3. **Сумма углов треугольника:** Рассмотрим треугольник BCD. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, ∠DBC = 180° - ∠BDC - ∠BCD = 180° - 110° - 140° = -70°. Это невозможно, так как угол не может быть отрицательным. Вероятно, я допустил ошибку. Поскольку трапеция равнобедренная, ∠BAD = ∠CDA = 140°. Значит, ∠ABC = ∠BCD. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. 4. **Найдем ∠ABC:** ∠ABC = 180° - ∠BAD (так как углы BAD и ABC являются внутренними односторонними при параллельных основаниях и секущей AB). Тогда ∠ABC = 180° - 140° = 40°. 5. **Рассмотрим треугольник ABD:** Сумма углов в треугольнике ABD равна 180°. Значит, ∠ABD = 180° - ∠BAD - ∠BDA. У нас уже есть ∠BDA = 30°. Теперь нужно найти ∠BAD. Поскольку трапеция равнобедренная, то углы при основании AD равны. Тогда ∠BAD = ∠ADC = 140°. 6. **Подставим значения:** ∠ABD = 180° - ∠BAD - ∠BDA = 180° - (180° - ∠ABC) - 30°. ∠ABD = 180° - 140° - 30° = 10°. **Ответ:** 10 градусов.