В трапеции $$ABCD$$ известно, что $$AB = CD$$, $$AC = AD$$ и $$\angle ABC = 115^\circ$$. Найдите угол $$CAD$$. Ответ дайте в градусах.

Трапеция $$ABCD$$ равнобедренная, так как $$AB=CD$$. Значит, $$\angle BCD = \angle ABC = 115^\circ$$. Так как $$AC = AD$$, треугольник $$ACD$$ - равнобедренный, следовательно, $$\angle ACD = \angle ADC$$. Сумма углов при основании равнобедренной трапеции равна $$180^\circ$$, значит $$\angle BAD = \angle CDA = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$. Тогда $$\angle ACD = \angle ADC = \frac{180^\circ - \angle CAD}{2}$$.

Сумма углов трапеции равна $$360^\circ$$. Также, $$\angle BAC = \angle BDA$$. Из свойств трапеции следует, что $$\angle BAD + \angle ABC = 180^\circ$$, тогда $$\angle BAD = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$. Аналогично, $$\angle BCD + \angle CDA = 180^\circ$$, тогда $$\angle CDA = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$.

Так как $$\angle ABC = 115^\circ$$, то $$\angle BAC = \angle BCA$$. $$\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^\circ$$, значит $$2\angle BAC = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$, следовательно, $$\angle BAC = \angle BCA = 32.5^\circ$$.

$$\angle DAC = \angle BAD - \angle BAC = 65^\circ - 32.5^\circ = 32.5^\circ$$.

Так как $$AC = AD$$, треугольник $$ACD$$ равнобедренный, а значит, $$\angle ACD = \angle ADC$$. $$\angle CDA = 65^\circ$$. $$\angle CAD = 180^\circ - 65^\circ - 65^\circ = 50^\circ$$

Ответ: 50