В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке О, ВО : OD = 2 : 3, АС = 25 см. Найдите отрезки АО и ОС.

1) Рассмотрим трапецию ABCD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. BO:OD = 2:3, AC = 25 см.

2) Рассмотрим треугольники $$\,\triangle BOC$$ и $$\,\triangle DOA$$.

3) $$\,\angle BOC = \angle DOA$$ как вертикальные.

4) $$\,\angle OBC = \angle ODA$$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD.

5) Следовательно, $$\,\triangle BOC \sim \triangle DOA$$ по двум углам.

6) Запишем отношение сходственных сторон: $$\frac{BO}{OD} = \frac{OC}{OA}$$.

7) Подставим известные значения: $$\frac{2}{3} = \frac{OC}{OA}$$. Следовательно, $$OA = \frac{3}{2}OC$$.

8) $$AC = AO + OC$$. $$25 = AO + OC$$. Подставим $$AO = \frac{3}{2}OC$$: $$25 = \frac{3}{2}OC + OC = \frac{5}{2}OC$$.

9) Выразим OC: $$OC = \frac{2 \cdot 25}{5} = 2 \cdot 5 = 10$$ (см).

10) Выразим AO: $$AO = AC - OC = 25 - 10 = 15$$ (см).

Ответ: AO = 15 см, OC = 10 см.