В трапеции АВСD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке О, ВО : OD = 2 : 3, АС = 25 см. Найдите отрезки АО и ОС.

Т.к. ABCD - трапеция, то BC || AD. Рассмотрим треугольники BOC и AOD. Углы BOC и AOD равны как вертикальные, углы OBC и ODA равны как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD. Следовательно, треугольники BOC и AOD подобны по двум углам.

Составим отношение сторон:

$$ \frac{BO}{OD} = \frac{CO}{AO} $$

Подставим известные значения:

$$ \frac{2}{3} = \frac{CO}{AO} $$

Пусть CO = 2x, тогда AO = 3x. Т.к. AC = AO + CO, то 25 = 3x + 2x = 5x. Отсюда x = 5.

Следовательно, CO = 2 * 5 = 10 см, AO = 3 * 5 = 15 см

Ответ: AO = 15 см, OC = 10 см