3. В треольнике АВС высота CD проведена из вершины прямого угла. Катет СВ равен 6см, DB=3. см. Найдите площадь треугольника АВС.

3. В треугольнике ABC высота CD проведена из вершины прямого угла. Катет CB = 6 см, DB = 3 см. Найти площадь треугольника ABC.

Рассмотрим треугольник ABC, где угол C - прямой, и CD - высота, проведенная к гипотенузе AB.

Площадь треугольника ABC можно найти как:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$$

Или как:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD$$

Из условия известно, что CB = 6 см, DB = 3 см. Тогда треугольник CDB - прямоугольный, и можно выразить CD через CB и DB:

$$CD^2 + DB^2 = CB^2$$

$$CD^2 + 3^2 = 6^2$$

$$CD^2 = 36 - 9 = 27$$

$$CD = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \text{ см}$$

Из подобия треугольников CDB и ABC (оба прямоугольные, и угол B общий) следует:

$$\frac{CB}{AB} = \frac{DB}{CB}$$

$$AB = \frac{CB^2}{DB} = \frac{6^2}{3} = \frac{36}{3} = 12 \text{ см}$$

Тогда

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 3\sqrt{3} = 18\sqrt{3} \text{ см}^2$$

Ответ: $$18\sqrt{3} \text{ см}^2$$