262. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ углы A и A₁ - прямые, BD и B₁D₁ - биссектрисы. Докажите, что ∆ABC = ∆A₁B₁C₁, если BD = B₁D₁.

Для доказательства равенства треугольников ABC и A₁B₁C₁ нам нужно использовать условия, что углы A и A₁ прямые, BD и B₁D₁ являются биссектрисами, и BD = B₁D₁. 1. Угол A = Угол A₁ = 90° (по условию). 2. BD и B₁D₁ - биссектрисы: Это означает, что угол ABD равен половине угла ABC, а угол A₁B₁D₁ равен половине угла A₁B₁C₁. \[\angle ABD = \frac{1}{2} \angle ABC\] \[\angle A_1B_1D_1 = \frac{1}{2} \angle A_1B_1C_1\] 3. BD = B₁D₁ (по условию). Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники ABD и A₁B₁D₁: * Угол A = Угол A₁ = 90° * BD = B₁D₁ (гипотенуза) Чтобы доказать равенство этих треугольников, нам нужно показать равенство еще одного угла или стороны. Если мы сможем доказать, что угол ABD = углу A₁B₁D₁, тогда треугольники ABD и A₁B₁D₁ будут равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства этих треугольников будет следовать, что AB = A₁B₁. Предположим, что угол ABD = углу A₁B₁D₁. Тогда: \[\frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \angle A_1B_1C_1\] Отсюда следует, что угол ABC = углу A₁B₁C₁. Теперь у нас есть: * Угол A = Угол A₁ = 90° * AB = A₁B₁ * Угол ABC = Угол A₁B₁C₁ Таким образом, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по углу, стороне и углу (ASA). Вывод: Если BD = B₁D₁ и угол ABD = углу A₁B₁D₁, то треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны. Что и требовалось доказать.