135 В треугольниках АВС и А1В1С1 отрезки СО и СО — ме- дианы, ВС = В1С1, ∠B = ∠B₁ и ∠C=∠C1. Докажите, что: a) △ACO = А1С1O1; б) △BCO = ∆B₁C1O1.

Для доказательства равенства треугольников необходимо воспользоваться условием, что в треугольниках ABC и A1B1C1 отрезки CO и C1O1 — медианы, BC = B1C1, ∠B = ∠B1 и ∠C = ∠C1.

a) Докажем, что △ACO = △A1C1O1:

1. Так как CO и C1O1 медианы, то AO = \(\frac{1}{2}\)AC и A1O1 = \(\frac{1}{2}\)A1C1.
2. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1. У них:
   • BC = B1C1 (по условию)
   • ∠B = ∠B1 (по условию)
   • ∠C = ∠C1 (по условию)
3. Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (первый признак равенства треугольников).
4. Из равенства треугольников ABC и A1B1C1 следует, что AC = A1C1.
5. Тогда \(\frac{1}{2}\)AC = \(\frac{1}{2}\)A1C1, то есть AO = A1O1.
6. Рассмотрим треугольники BCO и B1C1O1. У них:
   • CO = C1O1 (так как CO и C1O1 — медианы)
   • ∠ACO = ∠A1C1O1 (так как ∠C = ∠C1)
   • AO = A1O1 (по доказанному выше)
7. Следовательно, треугольники ACO и A1C1O1 равны по двум сторонам и углу между ними (второй признак равенства треугольников).

Ответ: △ACO = △A1C1O1, что и требовалось доказать.

б) Докажем, что △BCO = △B1C1O1:

1. Рассмотрим треугольники BCO и B1C1O1. У них:
   • BC = B1C1 (по условию)
   • ∠C = ∠C1 (по условию)
   • CO = C1O1 (так как CO и C1O1 — медианы)
2. Чтобы доказать равенство треугольников BCO и B1C1O1, нужно доказать равенство сторон BO и B1O1 или равенство углов ∠BOC и ∠B1O1.
3. Мы уже доказали, что △ABC = △A1B1C1 (пункт а).
4. Отсюда следует, что AB = A1B1.
5. Так как CO и C1O1 медианы, то O и O1 — середины сторон AB и A1B1 соответственно.
6. Тогда BO = \(\frac{1}{2}\)AB и B1O1 = \(\frac{1}{2}\)A1B1.
7. Следовательно, BO = B1O1.
8. Таким образом, треугольники BCO и B1C1O1 равны по двум сторонам и углу между ними (второй признак равенства треугольников).

Ответ: △BCO = △B1C1O1, что и требовалось доказать.