3. В треугольнике \(\triangle ABC\) через основание D высоты BD проведена прямая параллельно стороне AB до пересечения со стороной BC в точке K. Найдите отношение \(\frac{BK}{KC}\), если площадь треугольника \(\triangle ABDK\) составляет \(\frac{3}{16}\) площади треугольника \(\triangle ABC\).

Решение:

Пусть площадь треугольника \(\triangle ABC\) равна S, тогда площадь четырехугольника ABDK равна \(\frac{3}{16}S\). Следовательно, площадь треугольника \(\triangle KDC\) равна \(S - \frac{3}{16}S = \frac{13}{16}S\).

Так как DK || AB, то \(\triangle KDC \sim \triangle ABC\). Пусть коэффициент подобия равен k, то есть \(\frac{KC}{BC} = k\).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \[\frac{S_{\triangle KDC}}{S_{\triangle ABC}} = k^2\]

Тогда \[\frac{\frac{13}{16}S}{S} = k^2\] \[k^2 = \frac{13}{16}\] \[k = \sqrt{\frac{13}{16}} = \frac{\sqrt{13}}{4}\]

Итак, \(\frac{KC}{BC} = \frac{\sqrt{13}}{4}\). Выразим BK через BC: \(BK = BC - KC = BC - \frac{\sqrt{13}}{4}BC = (1 - \frac{\sqrt{13}}{4})BC\).

Теперь найдем отношение \(\frac{BK}{KC}\): \[\frac{BK}{KC} = \frac{(1 - \frac{\sqrt{13}}{4})BC}{\frac{\sqrt{13}}{4}BC} = \frac{1 - \frac{\sqrt{13}}{4}}{\frac{\sqrt{13}}{4}} = \frac{4 - \sqrt{13}}{\sqrt{13}} = \frac{4\sqrt{13} - 13}{13}\]

Ответ: \(\frac{BK}{KC} = \frac{4\sqrt{13} - 13}{13}\)