2. В треугольнике \(\triangle ABC\) через точку M, лежащую на стороне BC проведены прямые, параллельные сторонам AB и AC. Площадь образованного при этом параллелограмма составляет \(\frac{5}{18}\) площади треугольника \(\triangle ABC\). Найдите отношение \(\frac{BM}{MC}\).

Решение:

Пусть площадь треугольника \(\triangle ABC\) равна S. Тогда площадь параллелограмма равна \(\frac{5}{18}S\).

Обозначим точку пересечения прямой, параллельной AC, со стороной AB как D, а точку пересечения прямой, параллельной AB, со стороной AC как E. Тогда AMDE - параллелограмм.

Треугольники \(\triangle DBM\) и \(\triangle ABC\) подобны, так как DM || AC. Аналогично, треугольники \(\triangle MEC\) и \(\triangle ABC\) подобны.

Пусть \(\frac{BM}{BC} = x\), тогда \(\frac{MC}{BC} = 1 - x\).

Площадь \(\triangle DBM = x^2 \cdot S_{\triangle ABC} = x^2 S\).

Площадь \(\triangle MEC = (1-x)^2 \cdot S_{\triangle ABC} = (1-x)^2 S\).

Площадь параллелограмма AMDE равна площади \(\triangle ABC\) минус площади треугольников \(\triangle DBM\) и \(\triangle MEC\):

\[ S - x^2 S - (1-x)^2 S = \frac{5}{18} S \]

Разделим обе части на S: \[ 1 - x^2 - (1 - 2x + x^2) = \frac{5}{18} \] \[ 1 - x^2 - 1 + 2x - x^2 = \frac{5}{18} \] \[ -2x^2 + 2x = \frac{5}{18} \] \[ 2x^2 - 2x + \frac{5}{18} = 0 \] Умножим на 18: \[ 36x^2 - 36x + 5 = 0 \]

Решим квадратное уравнение: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{36 \pm \sqrt{36^2 - 4 \cdot 36 \cdot 5}}{2 \cdot 36} = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 720}}{72} = \frac{36 \pm \sqrt{576}}{72} = \frac{36 \pm 24}{72} \]

\[ x_1 = \frac{36 + 24}{72} = \frac{60}{72} = \frac{5}{6} \] \[ x_2 = \frac{36 - 24}{72} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6} \]

Если \(x = \frac{BM}{BC} = \frac{5}{6}\), то \(MC = BC - BM = BC - \frac{5}{6}BC = \frac{1}{6}BC\). Тогда \(\frac{BM}{MC} = \frac{\frac{5}{6}BC}{\frac{1}{6}BC} = 5\).

Если \(x = \frac{BM}{BC} = \frac{1}{6}\), то \(MC = BC - BM = BC - \frac{1}{6}BC = \frac{5}{6}BC\). Тогда \(\frac{BM}{MC} = \frac{\frac{1}{6}BC}{\frac{5}{6}BC} = \frac{1}{5}\).

Ответ: \(\frac{BM}{MC} = 5\) или \(\frac{BM}{MC} = \frac{1}{5}\)