4 В треугольнике А ВС угол А ВС равен 120°, АВ = ВС, ВМ - медиана. На луче ВМ отметили точку F такую, что ∠BAF = 90°. Найдите FM, если АВ = 30. Ответ: B f

Ответ: 15

Разбираемся:

• \(AB = BC\), значит, треугольник \(ABC\) – равнобедренный.
• \(BM\) – медиана, проведенная к основанию \(AC\) равнобедренного треугольника, является также биссектрисой и высотой. Следовательно, \(\angle ABM = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\) и \(BM \perp AC\).
• Рассмотрим треугольник \(ABF\). \(\angle BAF = 90°\) по условию. Тогда \(\angle AFB = 180° - \angle BAF - \angle ABF = 180° - 90° - 60° = 30°\).
• В прямоугольном треугольнике \(ABF\) катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Следовательно, \(BF = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15\).
• Так как \(BM\) - биссектриса, то точка \(F\) лежит на \(BM\). \(BM\) также является медианой, то есть \(M\) – середина \(AC\). Следовательно, \(FM = BM - BF\). Поскольку \(BF=AB/2=15\), а \(BM = \frac{AB}{2} = 15\), то \(FM = 15\).

Ответ: 15