7. В треугольнике ABC ∠A = 60°, ∠B = 45°, AB = √6 см. Найдите сторону BC.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит:

$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $$

В нашем случае:

• ∠A = 60°
• ∠B = 45°
• AB = c = √6 см
• Нужно найти BC = a

Сначала найдем угол C:

$$ ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 60° - 45° = 75° $$

Теперь воспользуемся теоремой синусов, чтобы найти сторону BC (a):

$$ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} $$ $$ \frac{a}{\sin 60°} = \frac{\sqrt{6}}{\sin 75°} $$

Выразим a:

$$ a = \frac{\sqrt{6} \cdot \sin 60°}{\sin 75°} $$

Значения синусов:

• sin 60° = √3 / 2
• sin 75° = (√6 + √2) / 4

Подставим значения:

$$ a = \frac{\sqrt{6} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} $$ $$ a = \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} \cdot 4}{2 \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{2})} $$ $$ a = \frac{2 \sqrt{18}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{2 \cdot 3\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)} = \frac{6}{\sqrt{3} + 1} $$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение (√3 - 1):

$$ a = \frac{6(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{6(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \frac{6(\sqrt{3} - 1)}{2} = 3(\sqrt{3} - 1) $$

Таким образом, сторона BC равна 3(√3 - 1) см.

Ответ: $$3(\sqrt{3} - 1)$$