Одна сторона треугольника на 6 см больше другой, а угол между ними равен 120°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 21 см.

Пусть ( a ) и ( b ) - две стороны треугольника, причем ( a = b + 6 ), ( c = 21 ) см, а угол между сторонами ( a ) и ( b ) равен ( \gamma = 120^circ ). Используем теорему косинусов, чтобы найти сторону ( b ):

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$$

Подставим известные значения:

$$21^2 = (b + 6)^2 + b^2 - 2(b + 6)b \cos(120^circ)$$

Так как ( \cos(120^circ) = -\frac{1}{2} ), то

$$441 = b^2 + 12b + 36 + b^2 + (b + 6)b$$ $$441 = 2b^2 + 12b + 36 + b^2 + 6b$$ $$0 = 3b^2 + 18b + 36 - 441$$ $$3b^2 + 18b - 405 = 0$$

Разделим на 3:

$$b^2 + 6b - 135 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-135) = 36 + 540 = 576$$ $$b_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{576}}{2} = \frac{-6 \pm 24}{2}$$ $$b_1 = \frac{-6 + 24}{2} = \frac{18}{2} = 9$$ $$b_2 = \frac{-6 - 24}{2} = -15$$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, то ( b = 9 ) см.

Тогда ( a = b + 6 = 9 + 6 = 15 ) см.

Периметр треугольника ( P = a + b + c = 15 + 9 + 21 = 45 ) см.

Ответ: Периметр треугольника равен 45 см.