1. В треугольнике ABC ∠A = 100°, ∠C = 40°. a) Докажите, что треугольник АВС – равнобедренный, и укажите его боковые стороны. б) Отрезок СК – биссектриса данного треугольника. Найдите углы, которые она образует со стороной АВ.

a) Сумма углов в треугольнике равна 180°. Значит, угол ∠B равен: $$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 100^\circ - 40^\circ = 40^\circ$$ Так как ∠B = ∠C, то треугольник ABC – равнобедренный. Боковые стороны – AB и AC. б) Так как CK – биссектриса, то ∠ACK = ∠BCK = ∠C / 2 = 40° / 2 = 20°. Рассмотрим треугольник BCK. Угол ∠CBK = ∠B = 40°, угол ∠BCK = 20°. Тогда угол ∠CKB равен: $$\angle CKB = 180^\circ - \angle CBK - \angle BCK = 180^\circ - 40^\circ - 20^\circ = 120^\circ$$ Так как ∠CKB и ∠CKA – смежные углы, то ∠CKA = 180° - ∠CKB = 180° - 120° = 60°. Ответ: Углы, которые биссектриса CK образует со стороной AB, равны 120° и 60°.