4. В треугольнике ABC ∠B = 15°, ∠C= 45°, АВ = 5/6. Найдите длину стороны АС и радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 15° - 45° = 120°.

По теореме синусов:

$$\frac{AC}{sin(B)} = \frac{AB}{sin(C)} = 2R$$

где R - радиус описанной окружности.

Найдём AC:

$$\frac{AC}{sin(15°)} = \frac{5\sqrt{6}}{sin(45°)}$$

$$AC = \frac{5\sqrt{6} \cdot sin(15°)}{sin(45°)}$$

$$sin(15°) = sin(45° - 30°) = sin(45°)cos(30°) - cos(45°)sin(30°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$$

$$sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$AC = \frac{5\sqrt{6} \cdot (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5\sqrt{6} \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{3} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} = \frac{5(3\sqrt{2} - \sqrt{6})}{2}$$

Найдём радиус окружности, описанной около треугольника АВС:

$$2R = \frac{AB}{sin(C)}$$ $$2R = \frac{5\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{3}$$ $$R = 5\sqrt{3}$$

Ответ: $$AC = \frac{5(3\sqrt{2} - \sqrt{6})}{2}$$, $$R = 5\sqrt{3}$$