3. В треугольнике ABC ∠B = 15°, ∠C = 45°, AB = 5√6. Найдите длину стороны АС и радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

Сначала найдем угол A:

$$∠A = 180^\circ - ∠B - ∠C = 180^\circ - 15^\circ - 45^\circ = 120^\circ$$

Теперь найдем сторону AC, используя теорему синусов:

$$\frac{AC}{sin(∠B)} = \frac{AB}{sin(∠C)}$$ $$AC = \frac{AB \cdot sin(∠B)}{sin(∠C)} = \frac{5\sqrt{6} \cdot sin(15^\circ)}{sin(45^\circ)}$$

Известно, что $$sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$$ и $$sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$, тогда:

$$AC = \frac{5\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2\sqrt{2}} = \frac{5(6 - \sqrt{12})}{2\sqrt{2}} = \frac{5(6 - 2\sqrt{3})}{2\sqrt{2}} = \frac{5(3 - \sqrt{3})}{\sqrt{2}} = \frac{5(3\sqrt{2} - \sqrt{6})}{2}$$

Теперь найдем радиус описанной окружности R, используя теорему синусов:

$$\frac{AB}{sin(∠C)} = 2R$$ $$R = \frac{AB}{2 \cdot sin(∠C)} = \frac{5\sqrt{6}}{2 \cdot sin(45^\circ)} = \frac{5\sqrt{6}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{3}$$

Ответ: Длина стороны AC равна $$\frac{5(3\sqrt{2} - \sqrt{6})}{2}$$, радиус окружности равен $$5\sqrt{3}$$.