3. В треугольнике ABC ∠B = 15°, ∠C = 45°, AB = 5√6. Найдите длину стороны АС и радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

В треугольнике ABC даны углы ∠B = 15°, ∠C = 45° и сторона AB = 5√6. Необходимо найти длину стороны AC и радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

Сумма углов в треугольнике равна 180°, найдем угол A:

$$∠A = 180^\circ - ∠B - ∠C$$ $$∠A = 180^\circ - 15^\circ - 45^\circ$$ $$∠A = 120^\circ$$

Теперь воспользуемся теоремой синусов для нахождения стороны AC:

$$\frac{AB}{\sin{C}} = \frac{AC}{\sin{B}}$$ $$\frac{5\sqrt{6}}{\sin{45^\circ}} = \frac{AC}{\sin{15^\circ}}$$

Выразим AC:

$$AC = \frac{5\sqrt{6} \cdot \sin{15^\circ}}{\sin{45^\circ}}$$

Учитывая, что sin(45°) = √2/2, а sin(15°) = (√6 - √2) / 4:

$$AC = \frac{5\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$ $$AC = \frac{5\sqrt{6} \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}$$ $$AC = \frac{5\sqrt{6} \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2\sqrt{2}}$$ $$AC = \frac{5(6 - \sqrt{12})}{2\sqrt{2}}$$ $$AC = \frac{5(6 - 2\sqrt{3})}{2\sqrt{2}}$$ $$AC = \frac{10(3 - \sqrt{3})}{2\sqrt{2}}$$ $$AC = 5\sqrt{2} (\sqrt{3} - 1) = 5(\sqrt{6} - \sqrt{2})$$

Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся теоремой синусов:

$$\frac{AB}{\sin{C}} = 2R$$ $$R = \frac{AB}{2\sin{C}}$$ $$R = \frac{5\sqrt{6}}{2 \cdot \sin{45^\circ}}$$ $$R = \frac{5\sqrt{6}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$$ $$R = \frac{5\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$$ $$R = 5\sqrt{3}$$

Ответ: AC = 5(√6 - √2), R = 5√3