8. В треугольнике ABC ∠C = 60°. На стороне AC отмечена точка D так, что ∠BDC = 60°, ∠ABD = 30°, CD = 5 см. Найти АС и расстояние от точки D до стороны АВ.

1. Находим углы треугольника: * ∠BDC = 60° (дано) * ∠ABD = 30° (дано) * ∠C = 60° (дано) 2. Анализируем треугольник BDC: * Так как ∠BDC = ∠C = 60°, то треугольник BDC равнобедренный с основанием BC. Следовательно, BD = BC. 3. Рассмотрим треугольник ABD: * ∠BAD = 180° - ∠ABD - ∠ADB. Угол ∠ADB является смежным с углом ∠BDC, поэтому ∠ADB = 180° - 60° = 120°. * ∠BAD = 180° - 30° - 120° = 30°. * Так как ∠ABD = ∠BAD = 30°, то треугольник ABD равнобедренный с основанием BD. Следовательно, AD = BD. 4. Определяем длины отрезков: * Так как AD = BD и BD = BC, то AD = BC. * Также, CD = 5 см (дано). 5. Выражаем AC: * AC = AD + DC. 6. Рассмотрим треугольник BDC еще раз: * Так как треугольник BDC равнобедренный (BD = BC) и ∠C = 60°, то этот треугольник равносторонний. * Следовательно, BD = BC = CD = 5 см. 7. Находим AC: * AD = BD = 5 см. * AC = AD + DC = 5 + 5 = 10 см. 8. Находим расстояние от точки D до стороны AB (высоту DH): * В равнобедренном треугольнике ABD (AD = BD) высота DH также является медианой и биссектрисой. * Рассмотрим прямоугольный треугольник ADH. В нем ∠DAH = 30° и AD = 5 см. * DH = AD * sin(∠DAH) = 5 * sin(30°) = 5 * 0.5 = 2.5 см. Ответ: AC = 10 см, расстояние от точки D до стороны AB равно 2.5 см.