3. В треугольнике ABC 1, 2, 3 — внутренние углы треугольника, 4, 5, 6 — внешние углы треугольника. а) Могут ли ∠1 и ∠3 быть прямым и тупым? б) ∠6=120°. ∠1-∠2=30°. Найдите углы 1, 2, 3.

Рассмотрим вопрос о возможности одновременного существования прямого угла (90°) и тупого угла (больше 90°) в треугольнике ∠1 и ∠3.

а) В треугольнике не может быть одновременно прямой (90°) и тупой (больше 90°) угол, так как сумма углов треугольника равна 180°. Если два угла уже имеют сумму больше или равную 180° (90° + больше 90°), то третий угол должен быть 0° или отрицательным, что невозможно для углов треугольника.

Ответ: а) Нет, ∠1 и ∠3 не могут быть прямым и тупым одновременно.

б) Известно, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Внешний угол ∠6 смежен с углом ∠3, поэтому он равен сумме ∠1 и ∠2.

$$∠6 = ∠1 + ∠2$$

Также известно, что ∠6 = 120° и ∠1 - ∠2 = 30°.

Получаем систему уравнений:

$$ \begin{cases} ∠1 + ∠2 = 120 \\ ∠1 - ∠2 = 30 \end{cases} $$

Сложим два уравнения системы:

$$2 * ∠1 = 150$$ $$∠1 = 75°$$

Теперь найдем ∠2, подставив значение ∠1 в первое уравнение:

$$75° + ∠2 = 120°$$ $$∠2 = 120° - 75°$$ $$∠2 = 45°$$

Чтобы найти угол ∠3, воспользуемся тем, что сумма углов треугольника равна 180°:

$$∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°$$ $$75° + 45° + ∠3 = 180°$$ $$120° + ∠3 = 180°$$ $$∠3 = 180° - 120°$$ $$∠3 = 60°$$ Ответ: б) ∠1 = 75°, ∠2 = 45°, ∠3 = 60°