В треугольнике ABC ∠A = 90°, ∠B = 60°. На стороне АС отмечена точка D так, что ∠DBC = 30°, DA = 4 см. Найти АС и расстояние от точки В до стороны ВС.

В треугольнике ABC: ∠A = 90°, ∠B = 60°, следовательно ∠C = 30°. В треугольнике DBC: ∠DBC = 30°, ∠C = 30°, следовательно треугольник DBC равнобедренный с BD = CD. В треугольнике ABC: AB = AC * tan(30°) = AC / √3. Также BC = AC / sin(60°) = 2AC / √3. В треугольнике ABD: ∠A = 90°, ∠ABD = ∠ABC - ∠DBC = 60° - 30° = 30°. Следовательно, треугольник ABD прямоугольный с углом 30°. По теореме о катете, противолежащем углу в 30°, AD = BD / √3. Так как AD = 4 см, то BD = 4√3 см. Так как BD = CD, то CD = 4√3 см. AC = AD + CD = 4 + 4√3 см. Расстояние от точки В до стороны ВС равно 0, так как точка В лежит на стороне ВС.