Решение

Так как M – середина AA₁, то $$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1}$$. Так как AA₁ – медиана, то A₁ – середина BC, и $$\overrightarrow{BA_1} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$$.

Выразим вектор $$overrightarrow{BM}$$ через $$overrightarrow{BA}$$ и $$overrightarrow{AM}$$: $$\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1}$$.

Выразим вектор $$\overrightarrow{AA_1}$$ через $$overrightarrow{BA}$$ и $$overrightarrow{BA_1}$$: $$\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BA_1} - \overrightarrow{BA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$$.

Подставим выражение для $$\overrightarrow{AA_1}$$ в выражение для $$\overrightarrow{BM}$$: $$\overrightarrow{BM} = -\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) = -\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b} - \frac{1}{2}\overrightarrow{a} = -\frac{3}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b}$$.

Ответ: $$\overrightarrow{BM} = -\frac{3}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b}$$