В треугольнике ABC: AB = a, ∠A = α и ∠B = β. Выразите биссектрисы l_A и l_B через α, β и a.

Обозначим третий угол через \(\gamma=180^\circ-\alpha-\beta\). По теореме синусов \(AC=\frac{a\sin\beta}{\sin\gamma}\), \(BC=\frac{a\sin\alpha}{\sin\gamma}\).

Длина биссектрисы угла между сторонами длиной \(p\) и \(q\) равна \(\frac{2pq\cos(\theta/2)}{p+q}\).

Для биссектрисы из A:

\(l_A=\frac{2\cdot AB\cdot AC\cos(\alpha/2)}{AB+AC}=\frac{2a\sin\beta\cos(\alpha/2)}{\sin\gamma+\sin\beta}=\frac{a\sin\beta}{\sin(\alpha/2+\beta)}\).

Для биссектрисы из B:

\(l_B=\frac{2\cdot AB\cdot BC\cos(\beta/2)}{AB+BC}=\frac{2a\sin\alpha\cos(\beta/2)}{\sin\gamma+\sin\alpha}=\frac{a\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta/2)}\).

Ответ: \(l_A=\frac{a\sin\beta}{\sin(\alpha/2+\beta)}\), \(l_B=\frac{a\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta/2)}\).