В треугольнике ABC AB = BC, AC = 5, tg ∠AMC = √3/2. Найдите AB.

В условии не определена точка M. Если M — середина основания AC (что соответствует рисунку и смыслу задачи), то:

Так как AB = BC, медиана BM к основанию AC является также высотой. Поэтому MC = AC : 2 = 5 : 2.

Из условия:

\(\tan\angle BMC=\frac{BM}{MC}=\frac{\sqrt{3}}{2}\), значит \(BM=\frac{5\sqrt{3}}{4}\).

По теореме Пифагора:

\[AB^2=AM^2+BM^2=\left(\frac{5}{2}\right)^2+\left(\frac{5\sqrt{3}}{4}\right)^2=\frac{25}{4}+\frac{75}{16}=\frac{175}{16}.\]

Следовательно, \(AB=\frac{5\sqrt{7}}{4}\).

Ответ: \(\frac{5\sqrt{7}}{4}\), если M — середина AC.