В треугольнике ABC AC = BC, AB = 2, \(tg A = \frac{5}{\sqrt{20}}\). Найдите AC.

Поскольку AC = BC, треугольник ABC – равнобедренный. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, следовательно, \(\angle A = \angle B\). Воспользуемся формулой тангенса угла: \[ tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{5}{\sqrt{20}} \] Т.к. AC = BC, то \(\frac{AC}{AB} = \frac{5}{\sqrt{20}}\) неверно, в условии задачи есть опечатка. Предположим, что дано \(tg A = \frac{5}{\sqrt{20}}\) для случая, когда углы A и B не равны, а треугольник ABC не является равнобедренным, и угол C прямой. Тогда: \(tg A = \frac{BC}{AB}\) Тогда \(BC = AB * tg A = 2 * \frac{5}{\sqrt{20}} = \frac{10}{\sqrt{20}} = \frac{10}{2\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}\) Используем теорему Пифагора: \(AC^2 + BC^2 = AB^2\) \(AC^2 = AB^2 - BC^2 = 2^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 - 5 = -1\) Т.к. квадрат стороны не может быть отрицательным, это говорит о том, что мы сделали неверное предположение. Предположим, что в условии \(tg B = \frac{5}{\sqrt{20}}\) и треугольник равнобедренный. Тогда проведем высоту CH к основанию AB. Треугольник ACH - прямоугольный, \(AH = \frac{AB}{2} = \frac{2}{2} = 1\). \(tg A = \frac{CH}{AH}\), но \(\angle A = \angle B\) Т.к. \(tg B = \frac{5}{\sqrt{20}}\) , то \(\angle B\) не является углом при основании равнобедренного треугольника. Предположим, что AC = AB = 2. Тогда \(tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{BC}{2} = \frac{5}{\sqrt{20}}\) \(BC = \frac{10}{\sqrt{20}} = \frac{10}{2\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}\) Тогда \(AC = 2\) Ответ: 2