В треугольнике ABC AC = BC, AB = 12, AH — высота, BH = 3. Найдите косинус угла BAC.

Так как AH — высота к BC, треугольник ABH прямоугольный. По теореме Пифагора: \(AH^2=AB^2-BH^2=12^2-3^2=135\), значит, \(AH=3\sqrt{15}\).

Обозначим \(BC=AC=x\). Из прямоугольного треугольника ABH и равенства \(AC=BC\) получаем для треугольника AHC: \((x-3)^2+135=x^2\). Тогда \(-6x+144=0\), откуда \(x=24\).

По теореме косинусов для угла A: \(\cos A=\frac{AC^2+AB^2-BC^2}{2\cdot AC\cdot AB}=\frac{24^2+12^2-24^2}{2\cdot24\cdot12}=\frac14\).

Ответ: \(\cos\angle BAC=\frac14\).